Persamaan gelombang

Pada tahun 1926, persamaan dasar yang secara inklusif menyatakan sifat partikel dan gelombang diusulkan dalam kerangka mekanika gelombang oleh Schrödinger dan mekanika matriks oleh Heisenberg. Meskipun bentuk matematika yang diusulkan oleh mereka berbeda, teori ini dibuktikan memiliki kesamaan dalam pengertian fisika yang sangat penting oleh E. Schrödinger. Dalam buku ini, persamaan fundamental untuk mekanika kuantum akan diperlakukan berdasarkan mekanika gelombang. Sebagaimana telah kita pelajari pada bagian 1.3, contoh untuk sebuah gelombang yang memiliki frekuensi v dan panjang gelombang ? direpresentasikan oleh

Dengan menggunakan sebuah rumus untuk proses diferensiasi fungsi ekponesial (de^ax / dx = ae ^ax), turunan terhadap waktu t atau posisi x akan menghasilkan persamaan berikut, masing-masing yaitu:

Harus diperhatikan bahwa simbol diferensiasi parsial ? digunakan untuk menggantikan d ketika jumlah variabelnya lebih dari satu. Dengan menggunakan persamaan yang menghubungkan sifat partikel dan gelombang, E = hv dan p = h/?, kita akan mendapatkan persamaan diferensial simultan sebagai berikut yang tidak mengandung v dan ? secara eksplisit.

(1.28)

(1.29)

Di sini, h adalah sebuah konstanta yang dinyatakan sebagai (h/2?). Persamaan (1.28) dan (1.29) menghubungkan besaran partikel E dan p dengan fungsi gelombang ?. Marilah kita mempelajari sifat matematika dari persamaan-persamaan ini sebelum mengaplikasikannya pada beberapa sistem. Persamaan (1.28) menunjukkan bahwa operasi dari ih? / ?t pada ? dari sisi sebelah kiri adalah ekivalen dengan sebuah perkalian sederhana dari ? dengan energi E. Persamaan (1.29) menunjukkan bahwa operasi dari - ih? / ?x pada ? dari sisi sebelah kiri adalah sama dengan perkalian sederhana ? dengan momentum p. Operasi matematika, seperti ih? / ?t dan – ih? / ?x disebut sebagai operator. Operator-operator ini masing-masing berkaitan dengan energi E dan momentum p.

Untuk mengaplikasikan persamaan-persamaan simultan ini pada suatu masalah tertentu, adalah penting untuk mengetahui terlebih dahulu relasi antara E dan p. Dalam mekanika klasik sebelum lahirnya mekanika kuantum, sebuah hubungan penting antara E dan p diketahui dalam fungsi Hamilton yang merepresentasikan energi dari sistem sebagai sebuah fungsi dari momentum, p, posisi, x dan waktu, t.

(1.30)

Dengan bantuan fungsi Hamilton H, persamaan (1.28) dan (1.29) dapat digabungkan ke dalam satu persamaan. Agar hal ini dapat dilakukan, marilah kita menurunkan sebuah fungsi Hamilton untuk sebuah sistem di mana sebuah partikel dengan masa bergerak dengan energi kinetik ½mv² dalam energi potensial U. Dapat dicatat bahwa momentum dari partikel ini p = mv, sehingga diperoleh

(1.31)

Substitusi dari persamaan ini pada sisi kanan pada persamaan (1.28) dengan menggunakan (1.30) akan menghasilkan persamaan berikut.

(1.32)

Sebagaimana dapat dilihat pada contoh ini, persamaan (1.28) dan (1.29) dapat disatukan menjadi sebuah persamaan yang mana energi E pada suku suku di sebelah kanan pada persamaan (1.28) digantikan dengan fungsi Hamiltoin yang berkaitan H dan momentum p harus digantikan dengan operator momentum .

(1.33)

Secara umum, menggantikan momentum p dalam ekspresi fungsi Hamilton dengan operator pada persamaan (1.33) kita akan memperoleh fungsi Hamilton mekanika kuantum ??.

(1.34)

?? disebut sebagai operator Hamilton atau Hamiltonian dengan menggunakan operator ini dua persamaan yaitu (1.28) dan (1.29) digabungkan menjadi satu persamaan yaitu

(1.35)

Persamaan ini adalah pesamaan yang paling mendasar pada mekanika kuantum dan disebut sebagai persamaan Schrödinger yang merupakan nama dari penemunya. Fungsi gelombang, ? dalam persamaan ini menyatakan keadaan di mana terdapat sistem materi. Arti fisis yang penting dari ? akan didiskusikan kemudian pada bagian yang lain.
Meskipun persamaan (1.35) dapat diturunkan dari persamaan gelombang yang sederhana, akan tetapi persamaan ini diketahui dapat diterapkan pada masalah-masalah yang umum. Perluasan dari Hamiltonian dan fungsi gelombang dalam persamaan (1.35) akan dipelajari kemudian. Prosedur untuk memecahkan persamaan gelombang dan arti dari solusi juga akan dipelajari pada bagian setelah ini.